失業保険について教えて下さい。
今は正社員として働いていますが、転職を考えて就活中です。

面接に行った会社で 内定しましたが、新規事業の開始からの雇用で はっきりした日にちはまだわかりませ。
近々、今の会社を退職して自宅待機の予定ですが 内定がある場合は 失業保険の需給はできませんよね?又、次の会社で 正社員になるまでの間 社会保険の任意継続の手続きをしたいのですが、それは可能ですか?
失業保険は、職安に相談してみるのがいいかと思います。
(内定先に開始予定の進み具合など確認もされていた方が説明しやすいかと)

社会保険は、健保と厚生年金に分かれますが、

厚生年金は、任意継続はありません。
(経過措置で第4種被保険者というのはありますが、S16年生まれとか、S61年時点で厚生加入歴10年等、上の方の年齢が対象になるので、文面から該当しそうにないような・・・)

健保は、加入期間が2月以上あれば任意継続できます。
喪失日から20日以内に、自分で保険者(協会or健康保険組合)へ手続きします。

任意継続の際、保険料は会社在籍中は半額会社が払っていたものが、全額自己負担となります。
国保の保険料と比べて安い方に加入を決められてはいかがでしょうか?
(国保と、社保健保では、扶養家族分の保険料計算方法が違います)
病気になり会社を休職しています。今は、傷病手当をもらっています。傷病手当の支給期間が終わり退職になった後は、失業保険がもらえるのでしょうか? また、休職中の場合、社会保険料などは、会
社がある程度、負担してもらえるのでしょうか?
傷病手当金を受給するためには、まず3日連続して休職します、これを待期期間といってこの3日間は傷病手当金は支給されません。
そして次の4日目から傷病手当金が支給されることになります。
もちろんこの期間に対する質問者の方が就労不能であるという医師の意見書が必要です。
またこのように傷病手当金を支給されているあるいは支給される条件が揃っているなら、その状態で退職すればその後も医師の就労不能と言う意見書があれば継続給付といって傷病手当金が支給されます、ただし退職時に健康保険の被保険者期間が1年以上あることが条件です(支給される期間は最初に支給されてから1年6ヶ月です)。

傷病手当金の受給には出勤簿や賃金台帳のコピーなどの添付書類あるいは会社の記載がいるので会社の協力が必要です。
また医師の就労不能と言う証明も必要です。
具体的には健保から申請書の用紙を貰って、その用紙には医師の意見を書く部分がありそこに就労不能と言う意見を書いてもらいます、あとは会社の証明する部分は会社が記載して、出勤簿や賃金台帳のコピーなどの添付書類を付けて健保に提出します。
医師に意見を書いてもらうのは病院で質問者の方自身がやらねばなりませんが、他のことは通常は会社の総務辺りがやってくれるものです。
ですからそれをやってくれるように、会社に協力を申し入れるのです。
それが健保で認められれば途中で退職しても継続給付と言う形で傷病手当金は支給されます、その期間は支給開始から最大で1年6ヶ月です。

それから失業給付についてですが。
失業給付の受給の条件の一つは働ける状態にあるということです、一方傷病手当金は働けない状態であることが前提です。
ですから傷病手当金を受給していれば、失業給付は受給できません。

そういう場合には、安定所へ受給期間の延長をします、最大3年(本来の1年と併せて4年)の延長が出来ます。
そして病気が良くなり働ける状態になったときに、仕事を探すのであれば失業給付を受けることが出来ます。
手続きとしては退職後30日を過ぎてから1ヶ月以内に雇用保険者証と離職票を持って安定所へ行き申し出てください(医師の診断書もいると思います)。
代理人に依る書類の提出あるいは郵送に依る提出が認められています。
そして働けるようになったら受給の手続きをします(このときも医師の診断書がいるはずです)。

>傷病手当の支給期間が終わり退職になった後は、失業保険がもらえるのでしょうか?

前述のように失業給付の受給の条件の一つは働ける状態にあるということです、ですから労働不能では受給はできません。
そこで受給期間の延長をするのです。
つまり医師が労働不能と診断しているうちは傷病手当金を受給し、医師が労働可能と診断すれば傷病手当金は打ち切られるが失業給付が受給できるということです、そして失業給付を受けながら仕事を探してくださいということです。
ですから1年6か月前でも医師が労働可能と診断すれば傷病手当金は打ち切られますし、1年6か月が過ぎても医師が労働不能と診断すれば失業給付は受給できません。

>また、休職中の場合、社会保険料などは、会社がある程度、負担してもらえるのでしょうか?

通常と同じように会社は半額負担です。
質問が何点かあります。
①私は先日、基本的に一日7時間、週5日非正規雇用で働いた会社を辞めました。(自己都合)

在籍期間は平成21年11月中旬から平成23年9月の9日までです。
雇用保険に加入していた期間は平成22年の9月16日から平成23年の9月9日までです。
平成21年11月(入社日から)から平成22年の8月までは雇用保険は未加入(正確には会社が手続きを怠っていた)
未加入期間は、遡って加入できるのでしょうか?
②会社を退職するときに退職証明書・源泉徴収票・雇用保険被保険者資格喪失確認通知書を郵送で送られてきました。
離職票がないので会社に電話して送ってきてもらうしかありませんか?
連休明けにもハローワークで失業保険給付の手続きをします。
手続きする際に何を持参すればよいか教えてください。
③私は現在貯蓄が約10万円ほどしかなく、次の職を早急に探さなくてはいけません。
自己都合の退職だと、やはり待機期間、一週間+3ヶ月になりますよね?
実際に、手続きをして給付が受けられる(振り込みがされる期間)まで4ヶ月待つ計算になりますか?
今の状態では12か月に満たないので雇用保険の受給資格はありません。
過去2年間に遡って雇用保険料の支払いは可能です。貴方が健康保険、厚生年金も加入していた場合はその分も遡って自己負担分は支払わなければなりません。法律では可能なので会社に聞いてみる事です。
但し、10万しかないのならば今後の生活は出来るのですか。
目出度く受給資格ができても、会社に再度手続きを取って貰う時間を見て4~5か月掛かります。
ですから、受給するより次の仕事を早急に探したほうが良いです。
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