失業保険について
派遣で働いています。

契約書は２月末までの契約となっています。
１月末に仕事は２月末で終了と予告されました。

失業保険はどうなるのでしょうか？

派遣の場合は派遣先の仕事がなくなっても、雇用主は派遣会社ですから退職になりません
従ってこの時点では失業保険は貰えません
派遣先の仕事がなくなって、派遣会社を辞めた場合が退職になります
この場合は自己都合になりますが、派遣先の仕事がなくなって１ヶ月以上待っても派遣会社が次の仕事を紹介しない場合は
解雇等の扱いになり会社都合になります

※その前に雇用保険に一定期間加入した期間がないと基本手当てはもらえませんよ

私はちょうど一年前に三年間勤めていた会社を退職し、その後三ヶ月間失業給付を貰い、今年の7月からは派遣で働き四ヶ月たった今月末で退職します。
この場合、失業保険は受給できるのでしょうか？

雇用保険の基本手当が正式名称ですが、受給はできません。

なぜなら、前回「三年間勤めていた会社を退職」したあと、
３ヶ月間雇用保険の給付を受けたため、３年間分の労働は
ここでリセットされました。
次に、7月から４ヶ月働いたとしても、雇用保険の受給条件である、
「離職の日以前2年間に、賃金支払いの基礎となった日数が11日
以上ある月が通算して12か月以上あり、かつ、雇用保険に加入し
ていた期間が通算して12か月以上ある場合」に該当しません。
つまり、一度雇用保険から受給すると、その後の就職から
リスタートするため、最近の４ヵ月の労働期間だけで判定することになります。

失業保険について！
今月末で期間限定のバイトが終わります。失業保険を半年分かけてきたのですが、期間満了ということで、
待機期間を待たずすぐに失業手当てをもらえるのでしょうか？

tadanakinureteさん の回答はいかがな物かと思います。
事故が初めからわかっている場合は対象外という言い方は誤解を招きます。
対象外ではなくて退職理由と雇用保険加入期間によって左右されると言うのが正しい言い方でしょう。
会社都合の場合は1年間に6ヶ月以上、自己都合の場合は2年間に12ヶ月以上の雇用保険被保険者期間が必要です。
最初から分かっていても雇用保険は支給されないことはありません。
雇用保険期間が満たされれば支給されます。

本題ですが、期間満了なら会社都合扱いですから給付制限3ヶ月は付きません（待機期間ではありません）
あなたが更新の可能性があったのに断ったりした場合は自己都合になって給付制限3ヶ月が付きます。
今回の場合は雇用保険期間が6ヶ月ですから会社都合退職の場合のみ支給されます。従ってあなたは3ヶ月待たずに1ヶ月程度で支給されます。

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